线性代数：增广矩阵学习笔记
增广矩阵
定义
对于一个n×mn\times mn×m的矩阵A=[aij]A=[a_{ij}]A=[aij]，我们可以在它的右边加上一个n×1n\times1n×1的列向量bbb，得到一个n×(m+1)n\times(m+1)n×(m+1)的矩阵[A∣b]\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}[Ab]，这个矩阵被称为AAA的增广矩阵。
A=[a11a12⋯a1ma21a22⋯a2m⋮⋮⋱⋮an1an2⋯anm],[A∣b]=[a11a12⋯a1m∣b1a21a22⋯a2m∣b2⋮⋮⋱⋮∣⋮an1an2⋯anm∣bn]
A=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}
\end{bmatrix},\quad
\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} & | & b_1\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} & | & b_2\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} & | & b_n
\end{bmatrix}
A=a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1ma2m⋮anm,[Ab]=a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1ma2m⋮anm∣∣∣∣b1b2⋮bn
示例
对于矩阵A=[123456]A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}A=[142536]和列向量b=[78]b=\begin{bmatrix}7 \\ 8\end{bmatrix}b=[78]，它们的增广矩阵为：
[A∣b]=[123∣7456∣8]
\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 7\\
4 & 5 & 6 & | & 8
\end{bmatrix}
[Ab]=[142536∣∣78]
线性方程组与增广矩阵
定义
一个线性方程组可以表示为Ax=bAx=bAx=b的形式，其中AAA是系数矩阵，xxx和bbb都是列向量。
设AAA为m×nm\times nm×n的矩阵，xxx和bbb都是nnn维列向量，则Ax=bAx=bAx=b是一个包含mmm个线性方程的线性方程组。这个线性方程组可以转化为增广矩阵[A∣b]\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}[Ab]的形式。
示例
下面的线性方程组可以表示为Ax=bAx=bAx=b的形式：
{x1+2x2−3x3=−14x1+5x2+6x3=27x1+8x2+9x3=5
\begin{cases}
x_1+2x_2-3x_3=-1\\
4x_1+5x_2+6x_3=2\\
7x_1+8x_2+9x_3=5
\end{cases}
⎩⎨⎧x1+2x2−3x3=−14x1+5x2+6x3=27x1+8x2+9x3=5
对应的系数矩阵AAA和列向量bbb分别为：
A=[12−3456789],b=[−125]
A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix},\quad
b=\begin{bmatrix}
-1\\
2\\
5
\end{bmatrix}
A=147258−369,b=−125
将它们组合在一起，得到增广矩阵[A∣b]\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}[Ab]：
[A∣b]=[12−3∣−1456∣2789∣5]
\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3 & | & -1\\
4 & 5 & 6 & | & 2\\
7 & 8 & 9 & | & 5
\end{bmatrix}
[Ab]=147258−369∣∣∣−125
增广矩阵的初等行变换
定义
333种初等行变换可以在增广矩阵上进行，它们分别是：
将某一行乘以一个非零常数kkk；交换矩阵中的任意两行；将某一行加上另外一行的kkk倍。
示例
下面是一个增广矩阵的例子：
[12−3∣−1456∣2789∣5]
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3 & | & -1\\
4 & 5 & 6 & | & 2\\
7 & 8 & 9 & | & 5
\end{bmatrix}
147258−369∣∣∣−125
对它进行以下初等行变换：
将第222行加上第111行的−4-4−4倍；交换第222行和第333行；将第222行乘以13\frac{1}{3}31。
得到新的增广矩阵为：
[12−3∣−10−318∣60−612∣4]→[12−3∣−10−612∣40−318∣6]→[12−3∣−10−24∣430−318∣6]→[12−3∣−101−2∣−230−318∣6]→[12−3∣−101−2∣−23000∣0]
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3 & | & -1\\
0 & -3 & 18 & | & 6\\
0 & -6 & 12 & | & 4
\end{bmatrix}\to
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3 & | & -1\\
0 & -6 & 12 & | & 4\\
0 & -3 & 18 & | & 6
\end{bmatrix}\to
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3 & | & -1\\
0 & -2 & 4 & | & \frac{4}{3}\\
0 & -3 & 18 & | & 6
\end{bmatrix}\to
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3 & | & -1\\
0 & 1 & -2 & | & -\frac{2}{3}\\
0 & -3 & 18 & | & 6
\end{bmatrix}\to
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3 & | & -1\\
0 & 1 & -2 & | & -\frac{2}{3}\\
0 & 0 & 0 & | & 0
\end{bmatrix}
1002−3−6−31812∣∣∣−164→1002−6−3−31218∣∣∣−146→1002−2−3−3418∣∣∣−1346→10021−3−3−218∣∣∣−1−326→100210−3−20∣∣∣−1−320
矩阵的行阶梯形式
定义
一个矩阵是行阶梯形式的，当且仅当它满足以下两个条件：
矩阵的第一行有非零元素；除第一行外，每一行的第一个非零元素的列数均大于前一行的该非零元素的列数。
示例
对于增广矩阵[A∣b]\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}[Ab]，如果它的行阶梯形式为：
[12−3∣−101−2∣−23000∣0]
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3 & | & -1\\
0 & 1 & -2 & | & -\frac{2}{3}\\
0 & 0 & 0 & | & 0
\end{bmatrix}
100210−3−20∣∣∣−1−320
则我们可以直接得到线性方程组的解：
x1=−5x2+7,x3=kx_1=-5x_2+7,\quad x_3=kx1=−5x2+7,x3=k
其中kkk为任意实数。
矩阵的简化行阶梯形式
定义
一个矩阵是简化行阶梯形式的，当且仅当它是行阶梯形式的，并且满足以下两个条件：
主元素（即每一行第一个非零元素）都为111；除主元素外，每一行的其余元素均为000。
示例
对于增广矩阵[A∣b]\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}[Ab]，如果它的简化行阶梯形式为：
[100∣−53010∣43001∣0]
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & -\frac{5}{3}\\
0 & 1 & 0 & | & \frac{4}{3}\\
0 & 0 & 1 & | & 0
\end{bmatrix}
100010001∣∣∣−35340
则我们可以直接得到线性方程组的解：
x1=−53,x2=43,x3=0x_1=-\frac{5}{3},\quad x_2=\frac{4}{3},\quad x_3=0x1=−35,x2=34,x3=0
矩阵的秩
定义
一个矩阵的秩是指其行阶梯形式的非零行数。
示例
对于增广矩阵[A∣b]\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}[Ab]，如果它的行阶梯形式为：
[12−3∣−10−24∣43000∣0]
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3 & | & -1\\
0 & -2 & 4 & | & \frac{4}{3}\\
0 & 0 & 0 & | & 0
\end{bmatrix}
1002−20−340∣∣∣−1340
则该矩阵的秩为222。
总结
本文介绍了增广矩阵的定义和与线性方程组的关系，以及增广矩阵的初等行变换、矩阵的行阶梯形式和简化行阶梯形式、矩阵的秩等概念。在学习线性代数时，这些概念都非常重要，希望读者能够掌握。